4.9. Заключение

Next: Литература к главе 4 Up: 4. Алгоритмические проблемы теории Previous: 4.8. Дискретное логарифмирование Contents: Содержание

4.9. Заключение

Мы затронули в этой главе лишь небольшую часть вопросов, связанных с теоретико-числовыми алгоритмами и оценками их сложности. Мы не описывали перспективные исследования, связанные с распространением алгоритмов решета на поля алгебраических чисел (решето числового поля), и использование их для разложения целых чисел на множители или решения задачи дискретного логарифмирования, см. [20]. Именно с помощью этих алгоритмов достигнуты теоретические оценки сложности разложения на множители

$\begin{displaymath}\exp(c(\ln N)^{1/3}(\ln\ln N)^{2/3}).\end{displaymath}$

Не были затронуты эллиптические кривые, т.е. определенные с точностью до обратимого множителя пропорциональности множества точек

$\begin{displaymath} E_{a,b}=\{(x,y,z)\in(\ZZ/m\ZZ)^3\vert y^2z=x^3+axz^2+bz^3\}, \end{displaymath}$

обладающие групповой структурой. С их помощью удалось построить весьма эффективные алгоритмы разложения чисел на множители и проверки целых чисел на простоту. В отличие от мультипликативной группы $(\ZZ/m\ZZ)^*$ порядок группы $E_{a,b}$ при одном и том же

меняется в зависимости от целых параметров

. Это оказывается весьма существенным, например, при разложении чисел

на множители. Мы отсылаем читателей за подробностями использования эллиптических кривых к статье [21].