Задачи шестой олимпиады

Next: Задачи седьмой олимпиады Up: 7.5. Условия задач олимпиад Previous: Задачи пятой олимпиады Contents: Содержание

Задачи шестой олимпиады

6.1. В системе связи, состоящей из 1997 абонентов, каждый абонент связан ровно с другими. Определите все возможные значения .

6.2. Квадратная таблица размером $1997\times1997$ заполнена натуральными числами от 1 до 1997 так, что в каждой строке присутствуют все числа от 1 до 1997. Найдите сумму чисел, стоящих на диагонали, которая соединяет левый верхний и правый нижний углы таблицы, если заполнение таблицы симметрично относительно этой диагонали.

6.3. Текст

М И М О П Р А С Т Е Т И Р А С И С П Д

И С А Ф Е И И Б О Е Т К Ж Р Г Л Е О Л О

И Ш И С А Н Н С Й С А О О Л Т Л Е Я Т У

И Ц В Ы И П И Я Д П И Щ П Ь П С Е Ю Я Я

получен из исходного сообщения перестановкой его букв. Текст

У Щ Ф М Ш П Д Р Е Ц Ч Е Ш Ю Ш Ч Д А К Е

Ч М Д В К Ш Б Е Е Ч Д Ф Э П Й Щ Г Ш Ф Щ

Ц Е Ю Щ Ф П М Е Ч П М Е Р Щ М Е О Ф Ч Щ

Х Е Ш Р Т Г Д И Ф Р С Я Ы Л К Д Ф Ф Е Е

получен из того же исходного сообщения заменой каждой буквы на другую букву так, что разные буквы заменены разными, а одинаковые - одинаковыми. Восстановите исходное сообщение.

6.4. На каждой из трех осей установлено по одной вращающейся шестеренке и неподвижной стрелке. Шестеренки соединены последовательно. На первой шестеренке 33 зубца, на второй - 10, на третьей - 7. На каждом зубце первой шестеренки по часовой стрелке написано по одной букве русского языка в алфавитном порядке:

АБВГДЕ $\myYo$ ЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ

На зубцах второй и третьей шестеренки в порядке возрастания по часовой стрелке написаны цифры от 0 до 9 и от 0 до 6 соответственно. Когда стрелка первой оси указывает на букву, стрелки двух других осей указывают на цифры.

Буквы сообщения шифруются последовательно. Зашифрование производится вращением первой шестеренки против часовой стрелки до первого попадания шифруемой буквы под стрелку. В этот момент последовательно выписываются цифры, на которые указывают вторая и третья стрелки. В начале шифрования стрелка 1-го колеса указывала на букву А, а стрелки 2-го и 3-го колес - на цифру 0.

а) зашифруйте слово О Л И М П И А Д А;

б) расшифруйте сообщение 2 4 8 0 9 2 8 3 9 1 1 2 1 1.

6.5. Цифры от 1 до 9 расположены на окружности в некотором неизвестном порядке. При зашифровании цифрового сообщения каждая отличная от 0 цифра заменяется на соседнюю с ней цифру на окружности по часовой стрелке, а при расшифровании - на соседнюю с ней цифру на окружности против часовой стрелки. Цифра 0 остается без изменения в обоих случаях.

Укажите условия, при которых порядок цифр на данной окружности можно однозначно восстановить по двум цифровым текстам - результатам расшифрования и зашифрования одного и того же цифрового текста с помощью данной окружности.

6.6. Докажите, что для каждого простого числа последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots$ является периодической с периодом 2, если равно остатку от деления числа $p^{n+2}$ на 24 при всех $n\geq1$ .

6.7. Найдите все значения параметра , при которых уравнение

$\begin{displaymath} \underbrace{\bigg\vert\dots\big\vert \vert}_{\mbox{\scriptsi... ...g\vert-\ldots-\bigg\vert}_{\mbox{\scriptsize 1996 раз}}=1996. \end{displaymath}$

имеет ровно 1997 различных решений.