...к задачам четвертой олимпиады

Next: ...к задачам пятой олимпиады Up: 7.6. Указания и решения Previous: ...к задачам третьей олимпиады Contents: Содержание

...к задачам четвертой олимпиады

4.1. Исходный текст состоит из 48 букв, следовательно, при зашифровании было использовано три положения решетки полностью и еще три буквы вписаны в четвертом положении. Значит, незаполненные 12 клеток совпадают с вырезами решетки в четвертом положении. Так как текст вписывается последовательно, то неизвестные нам три выреза могут располагаться только в первой строке таблицы и первых пяти клетках второй строки (до первого известного выреза). Считаем, что трафарет лежит в четвертом положении. Учитывая, что в одну клетку листа нельзя вписать две буквы, получаем, что вырезы могут быть только в отмеченных знаком ``?'' местах трафарета (``'' - места известных вырезов):

? ?

? ?

Очевидно, что из отмеченных в первой строке двух клеток вырезается только одна (так как они совмещаются поворотом). Получаем два возможных варианта решетки (либо первый ``?'', либо второй ``?'' в первой строке). Читаемый текст получается при втором варианте.

Ответ: ПОЛЬЗУЯСЬШИФРОМРЕШЕТКАНЕЛЬЗЯОСТАВЛЯТЬПУСТЫЕМЕСТА

4.2. Один из вариантов решения состоит из следующих этапов.

1. 19=н из второй строки (``19,2 19,5'').

2. 29=о из третьей строки (``29,н,10'') и 10=а или 10=и.

3. 14=щ из ``но,14,но''.

4. 8=д, 2=е, 10=и из ``денно и нощно''.

Получили текст:

$\textstyle \parbox{80mm}{12 е 24 5 3 21 6 о 28 е 20 18 20 21 5 и... ...,11 е 16 и щ 18 21 17 е 20 е 28 о 16 21 о 28 6 о 16. }$

5. 5=а и 27=з из второй строки.

6. 17=в 6=п 16=й - последнее слово второй строки - водопой.

Получили текст:

$\textstyle \parbox{80mm}{ 12 е 24 а 3 21 п о 28 е 20 18 20 21 а... ...4 е 11 е й\\ и щ 18 21 в е 20 е 28 о й 21 о 28 п о й. }$

7. 21=т 18=у 28=л 20=с из последней строки ``ищут веселой толпой''.

8. 11=р из ``зве11ей'' первой строки.

Итак,

$\textstyle \parbox{80mm}{ 12 е 24 а 3 т п о л е с у с т а и ... ... е р е й [0.5mm] и щ у т в е с е л о й т о л п о й. }$

9. 24=г из ``егерей''.

10. 12=б 3=ю из ``бегают''.

11. 31=ы 22=ч из ``добычей''.

 Ответ:     Бегают по лесу стаи зверей -


Не за добычей, не на водопой:


Денно и нощно они егерей


Ищут веселой толпой.

4.3. Ответ: $\cos36^\circ=(1+\sqrt5)/4\approx 0{,}8$ .

4.4. Занумеруем буквы латинского алфавита последовательно числами от 1 до 24. Пусть - некоторое число от 1 до 24, а - число, в которое переходит на втором этапе. Тогда перестановочность этапов можно записать в следующем виде:

$\begin{displaymath} f(x+1) = f(x) + 1,\quad\text{т. е.}\quad f(x+1) - f(x) = 1. \end{displaymath}$

Это означает, что соседние числа

на втором этапе переходят в соседние же числа

, т.е. второй этап - тоже сдвиг. Последовательное применение двух сдвигов - очевидно тоже сдвиг и остается рассмотреть 24 варианта различных сдвигов. Читаемый текст определяется однозначно. Осложнения, связанные с переходом Z в A, устраняются либо переходом к остаткам при делении на 24, либо выписыванием после буквы Z второй раз алфавита AB...Z.

Ответ: INTER ARMA SILENT MUSAE
(интер арма силент музэ - когда гремит оружие, музы молчат).

4.5. Составим возможные варианты переданных букв:

ГЪЙ АЭЕ БПРК ЕЖЩЮ НМЬЧ СЫЗЛ ШДУ ЦХОТ ЯФВИ

БШЗ АЫВ АНОИ ГЕЧЬ ЛКЪХ ПЩЕЙ ЦВС ФУМР ЭТАЖ

ВЩИ БЬЕ БОПЙ Д $\myYott$ ШЭ МЛЫЦ РЪЖК ЧГТ ХФНС ЮУБЗ

ГЪЙ ВЭ $\myYott$ ВПРК ЕЖЩЮ НМЬЧ СЬЗЛ ШДУ ЦХОТ ЯФВИ

ДЫК $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ЮЖ ГРСЛ $\myYott$ ЗЪЯ ОНЭШ ТЬИМ ЩЕФ ЧЦПУ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ХГЙ

ЕЬЛ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ЯЗ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ СТМ ЖИЫ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ПОЮЩ УЭЙН Ъ $\myYott$ Х ШЧРФ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ЦДК

Выбирая вторую и последнюю группу букв (где есть короткие колонки букв), определяем слова, им соответствующие: ВЯЗ, ЭТАЖ. В исходных словах 33 буквы, поэтому буквы В, Я, З, Э, Т, А, Ж уже использованы и их можно вычеркнуть из всех колонок:

ГЪЙ АЭЕ БПРК ЕЖЩЮ НМЬЧ СЫЗЛ ШДУ ЦХОТ ЯФВИ

БШ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ НОИ ГЕЧЬ ЛКЪХ ПЩЕЙ Ц $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ С ФУМР ЭТАЖ

$\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ЩИ БОПЙ Д $\myYott$ Ш $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ МЛЫЦ РЪ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ К ЧГ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ХФНС

ГЪЙ В $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ПРК Е $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ Щ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ НМЬЧ СЬ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ Л ШДУ ЦХО $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$

ГРСЛ $\myYott$ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ Ъ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ОН $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ЬИМ ЩЕФ ЧЦПУ

ЕЬЛ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ЯЗ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ С $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ М $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ИЫ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ПО $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ У $\phantom{\mbox{\texttt ?}}$ ЙН Ъ $\myYott$ Х ШЧРФ

Из нескольких вариантов, например, в третьей группе:

ГНОЙ ГНОМ ГРОМ

выбираем варианты так, чтобы каждая буква использовалась один раз. Продолжая таким образом, получим ответ.

Ответ:БЫК ВЯЗ ГНОЙ ДИЧЬ ПЛЮЩ СЪ $\myYott$ М ЦЕХ ШУРФ ЭТАЖ

4.6. Заметим, что $A_{k+1} - A_k =(k+1)^3-k^3+2$ для всех натуральных . Складывая почленно эти равенства при $k=1,2,\dots,(n-1)$ , получим . По условию . Следовательно, справедливо соотношение .

Ясно, что при расшифровании так же, как и при зашифровании, вместо чисел $A_{100}$ , $A_{101}$ , $A_{102}$ , $A_{103}$ , $A_{104}$ , $A_{105}$ , $A_{106}$ можно воспользоваться их остатками от деления на 30. Так как для каждого целого неотрицательного

$\begin{displaymath} (100+i)^3+2(100+i)=i^3+2i+30z, \end{displaymath}$

где

- некоторое целое число, то получаем следующие остатки при делении чисел $A_{100},\dots, A_{106}$ на 30:

$A_{100}$ $A_{101}$ $A_{102}$ $A_{103}$ $A_{104}$ $A_{105}$ $A_{106}$

0 3 12 3 12 15 18

Заключительный этап представлен в таблице:

шифрованное сообщение К Е Н З Э Р Е

числовое шифрованноесообщение 9 5 12 7 27 15 5

шифрующий отрезок 0 3 12 3 12 15 18

числовое исходное сообщение 9 2 0 4 15 0 17

исходное сообщение К В А Д Р А Т

4.7. Ответ:

$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{4a^2+1}}{2a} \mbox{ при } 0<a<1$ ;

$\displaystyle x_1=\frac{1+\sqrt{4a^2+1}}{2a},\ x_2=\frac{-\sqrt{4a^2-3}-1}{2a} \mbox{ при } a\geq 1$ .