Курс «Квантовые вычисления». Глава 1. Линейная алгебра квантовых вычислений

Курс «Квантовые вычисления»

Цели главы. Освоить обозначения, которые используются во всём курсе: нотацию Дирака, комплексное скалярное произведение, эрмитовы и унитарные операторы, собственные значения, проекторы и тензорное произведение. Глава не заменяет курс линейной алгебры, а собирает необходимый минимум и устанавливает единые обозначения. Физические постулаты и правило измерения вводятся в следующей главе.

1.1. Комплексные числа: напоминание

Комплексное число записывается как z = a + bi, где a и b вещественны, а i² = −1. Нам понадобятся три связанные конструкции:

• Комплексное сопряжение: z^* = a − bi.
• Модуль: |z| = √(a² + b²); отсюда |z|² = z^*z.
• Экспоненциальная форма: ненулевое число можно записать как z = |z|·e^iφ, где e^iφ = cos φ + i·sin φ. Множитель e^iφ имеет модуль 1, а угол φ задаёт фазу. Для нуля фаза не определена.

1.2. Векторы состояний и нотация Дирака

Чистое состояние квантовой системы представляют нормированным вектором комплексного пространства. При этом векторы, отличающиеся только общим фазовым множителем, описывают одно физическое состояние; это уточнение подробно разбирается в главе 2. В нотации Дирака вектор записывается как кет |ψ⟩. Для одного кубита пространство двумерно, а стандартный, или вычислительный, базис имеет вид

|0⟩ = ⎡ 1 ⎤     |1⟩ = ⎡ 0 ⎤
      ⎣ 0 ⎦           ⎣ 1 ⎦

Любой вектор этого пространства раскладывается по базису: |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩. Комплексные координаты α и β в квантовом контексте называются амплитудами.

Кету соответствует бра ⟨ψ| — элемент двойственного пространства. В выбранном ортонормированном базисе его координаты получают эрмитовым сопряжением: если |ψ⟩ — столбец (α, β)^T, то ⟨ψ| — строка (α^*, β^*). Термины bra и ket образованы от английского bracket — «скобка».

1.3. Скалярное произведение и норма

Скалярное произведение векторов |φ⟩ и |ψ⟩ записывается как ⟨φ|ψ⟩ — «бра на кет» — и вычисляется как произведение строки на столбец:

⟨φ|ψ⟩ = φ₀^*ψ₀ + φ₁^*ψ₁ + …

Обратите внимание на сопряжение координат первого аргумента — этим комплексное (эрмитово) скалярное произведение отличается от привычного вещественного. Свойства:

• ⟨φ|ψ⟩ = ⟨ψ|φ⟩^* — при перестановке аргументов результат сопрягается;
• ⟨ψ|ψ⟩ = |ψ₀|² + |ψ₁|² + … ≥ 0 — всегда вещественно и неотрицательно;
• норма вектора: ‖ψ‖ = √⟨ψ|ψ⟩; вектор с нормой 1 называется нормированным.

Векторы |φ⟩ и |ψ⟩ ортогональны, если ⟨φ|ψ⟩ = 0. Базис из попарно ортогональных нормированных векторов называется ортонормированным; вычислительный базис {|0⟩, |1⟩} — ортонормированный: ⟨0|0⟩ = ⟨1|1⟩ = 1, ⟨0|1⟩ = 0.

Пример 1. Пусть |+⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 и |−⟩ = (|0⟩ − |1⟩)/√2. Тогда ⟨+|−⟩ = (1·1 + 1·(−1))/2 = 0, а ⟨+|+⟩ = ⟨−|−⟩ = 1. Векторы ортогональны и нормированы, поэтому {|+⟩, |−⟩} — ещё один ортонормированный базис того же пространства, называемый базисом Адамара. Он будет постоянно встречаться в курсе.

1.4. Операторы: эрмитово сопряжение, эрмитовость, унитарность

После выбора базиса линейный оператор на конечномерном пространстве представляется матрицей. Эрмитово сопряжение матрицы A, обозначаемое A^† («A-крест»), получают транспонированием и комплексным сопряжением всех элементов. Порядок множителей при этом меняется: (AB)^† = B^†A^†.

В квантовой теории особенно важны два класса операторов:

• Эрмитовы: A^† = A. Их собственные значения вещественны, а собственные векторы можно выбрать ортонормированными. В стандартном описании проективных измерений эрмитовы операторы представляют наблюдаемые величины.
• Унитарные: U^†U = UU^† = I, то есть U⁻¹ = U^†. Они сохраняют скалярные произведения: ⟨Uφ|Uψ⟩ = ⟨φ|ψ⟩, а значит, нормы и ортогональность. Эволюция замкнутой системы и идеальные вентили описываются унитарными операторами. Поэтому каждый вентиль в схемной модели обратим, а обратный оператор равен U^†. Измерение к таким вентилям не относится.

Пример 2. Матрица

H = 1/√2 · ⎡ 1   1 ⎤
           ⎣ 1  −1 ⎦

(вентиль Адамара) одновременно эрмитова и унитарна. Проверьте: H^† = H (матрица вещественна и симметрична) и H² = I, откуда H^†H = I. Заметьте: H|0⟩ = |+⟩ и H|1⟩ = |−⟩ — вентиль Адамара переводит вычислительный базис в базис Адамара.

1.5. Собственные значения и проекторы

Ненулевой вектор |v⟩ называется собственным вектором оператора A с собственным значением λ, если A|v⟩ = λ|v⟩. Для эрмитова оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов, а все собственные значения вещественны. Собственные значения унитарного оператора имеют модуль 1 и потому записываются как фазовые множители e^iφ. Этот факт используется в алгоритме оценки фазы — одном из основных элементов алгоритма Шора (глава 6).

Внешнее произведение |φ⟩⟨ψ| («кет на бра») представляет оператор: в координатах это столбец, умноженный на строку. Особенно важен проектор P = |v⟩⟨v| на нормированный вектор |v⟩. Действуя на |ψ⟩, он даёт проекцию |v⟩⟨v|ψ⟩ на одномерное подпространство, натянутое на |v⟩. В главе 2 проекторы появятся в правиле измерения: вероятность исхода равна квадрату нормы соответствующей проекции.

Полезное тождество — разложение единицы: для любого ортонормированного базиса {|e_k⟩} выполняется ∑_k |e_k⟩⟨e_k| = I.

1.6. Тензорное произведение

Для описания составных систем нужна ещё одна конструкция. Если пространства состояний систем A и B имеют размерности m и n, пространство совместной системы задаётся их тензорным произведением размерности m·n. В координатах тензорное произведение векторов вычисляется как произведение Кронекера: каждая координата первого столбца умножается на весь второй столбец.

⎡ a ⎤ ⊗ ⎡ c ⎤   ⎡ a·c ⎤
⎣ b ⎦   ⎣ d ⎦ = ⎢ a·d ⎥
                ⎢ b·c ⎥
                ⎣ b·d ⎦

Базис пространства пары — все тензорные произведения базисных векторов: для двух кубитов это |0⟩⊗|0⟩, |0⟩⊗|1⟩, |1⟩⊗|0⟩, |1⟩⊗|1⟩, которые сокращённо записывают |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩. Отсюда экспоненциальный рост: n кубитов — пространство размерности 2ⁿ.

Тензорное произведение матриц строится аналогично: каждый элемент первой матрицы умножается на всю вторую. Выполняется правило (A⊗B)(|φ⟩⊗|ψ⟩) = A|φ⟩ ⊗ B|ψ⟩. Оператор A⊗I действует только на первую подсистему, а I⊗B — только на вторую; взаимодействие подсистем в общем случае описывается более сложным совместным оператором.

Пример 3. |+⟩⊗|0⟩ = (|00⟩ + |10⟩)/√2: первый кубит в суперпозиции, второй в |0⟩. Ключевой факт, ради которого построена вся конструкция: не всякий вектор составного пространства разлагается в тензорное произведение. Вектор (|00⟩ + |11⟩)/√2 так разложить нельзя (докажите — упражнение 5); такие состояния называются запутанными, и им посвящена глава 3.

Итоги главы

• Чистое состояние представляют нормированным вектором комплексного пространства с точностью до общей фазы; кет |ψ⟩ — вектор, бра ⟨ψ| — соответствующий элемент двойственного пространства.
• Идеальные вентили задаются унитарными операторами (U^†U = I) и потому обратимы; наблюдаемые в проективной модели представляются эрмитовыми операторами (A^† = A).
• Проектор |v⟩⟨v| выделяет компоненту вдоль |v⟩ — на этом построено правило измерения.
• Составные системы описываются тензорным произведением; размерность растёт как 2ⁿ, и существуют неразложимые (запутанные) состояния.

Упражнения

1. Вычислите ⟨ψ|ψ⟩ для |ψ⟩ = (1 + i)/2 · |0⟩ + z·|1⟩. При каком |z| вектор нормирован?
2. Докажите, что унитарный оператор сохраняет норму вектора. Указание: распишите ‖Uψ‖² = ⟨Uψ|Uψ⟩, используя (U|ψ⟩)^† = ⟨ψ|U^†.
3. Проверьте, что матрицы Паули

   X = ⎡ 0  1 ⎤   Y = ⎡ 0  −i ⎤   Z = ⎡ 1   0 ⎤
       ⎣ 1  0 ⎦       ⎣ i   0 ⎦       ⎣ 0  −1 ⎦
   

   эрмитовы и унитарны одновременно. Найдите собственные значения Z и его собственные векторы. Покажите, что собственные векторы X — это |+⟩ и |−⟩.
4. Вычислите H|+⟩ и H|−⟩. Что делает повторное применение вентиля Адамара?
5. Докажите, что состояние (|00⟩ + |11⟩)/√2 нельзя представить в виде (α|0⟩ + β|1⟩)⊗(γ|0⟩ + δ|1⟩). Указание: раскройте произведение, выпишите четыре уравнения на амплитуды и получите противоречие.
6. Проверьте разложение единицы для базиса Адамара: |+⟩⟨+| + |−⟩⟨−| = I.

Ответы и указания. 1: ⟨ψ|ψ⟩ = 1/2 + |z|²; нормировка достигается при |z| = 1/√2. 3: X^† = X, Y^† = Y, Z^† = Z и X² = Y² = Z² = I. Собственные значения всех трёх матриц равны ±1; для Z собственные векторы |0⟩ и |1⟩, а для X — |+⟩ и |−⟩. 4: H|+⟩ = |0⟩, H|−⟩ = |1⟩; следовательно, H² = I. 5: сравнение коэффициентов даёт αδ = βγ = 0 и αγ = βδ = 1/√2, что невозможно выполнить одновременно. 6: раскройте оба внешних произведения; их внедиагональные элементы взаимно уничтожаются, а диагональные складываются в единицы.

Литература к главе

1. M. Nielsen, I. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information," гл. 2. Cambridge University Press, 2010.
2. N. D. Mermin, "Quantum Computer Science: An Introduction," гл. 1. Cambridge University Press, 2007.

Содержание курса || Следующая глава