Курс «Квантовые вычисления». Глава 2. Кубит

Курс «Квантовые вычисления»

Цели главы. Ввести чистое состояние кубита и правило проективного измерения, научиться изображать однокубитные состояния на сфере Блоха и освоить основные однокубитные вентили. Завершает главу первая лабораторная работа.

2.1. Состояние кубита

Кубит — квантовая система с двумерным гильбертовым пространством. Чистое состояние кубита можно представить нормированным вектором

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, |α|² + |β|² = 1, α, β ∈ ℂ.

Векторы, различающиеся только общим фазовым множителем, представляют одно физическое состояние; это уточнение понадобится в разделе 2.3. Физическая природа кубита может быть разной: два энергетических уровня сверхпроводящей схемы или захваченного иона, две поляризации фотона. Как абстракция классического бита не зависит от того, реализован он напряжением или намагниченностью, так и математическая модель кубита не зависит от носителя.

У классического бита два чистых состояния — 0 и 1, а чистые состояния кубита образуют континуум. Это не превращает один кубит в хранилище произвольного объёма доступной классической информации: результат отдельного измерения дискретен, а неизвестные амплитуды нельзя восстановить по единственному экземпляру состояния.

2.2. Измерение

Рассмотрим идеальное проективное измерение в вычислительном базисе. Правило Борна утверждает:

• результатом является классический бит: 0 с вероятностью |α|², 1 с вероятностью |β|² (нормировка гарантирует, что вероятности дают в сумме единицу);
• состояние после измерения — соответствующий базисный вектор: после исхода 0 система находится в |0⟩, а после исхода 1 — в |1⟩; немедленное повторное измерение в том же базисе даст тот же результат.

В терминах главы 1: вероятность исхода k равна |⟨k|ψ⟩|² — квадрату модуля проекции состояния на базисный вектор.

Отсюда три следствия, определяющие лицо квантовых вычислений:

1. Одно измерение кубита даёт один бит, а не «бесконечность информации», спрятанную в непрерывных амплитудах.
2. Амплитуды нельзя узнать по одному экземпляру состояния. Для восстановления неизвестного состояния — квантовой томографии — нужны многие одинаково приготовленные экземпляры и измерения в нескольких базисах.
3. Измерение промежуточного состояния обычно его возмущает. Поэтому нельзя прочитать все амплитуды в середине алгоритма и затем продолжить то же вычисление с прежнего состояния.

2.3. Глобальная и относительная фаза

Состояния |ψ⟩ и e^iγ|ψ⟩ дают одинаковые вероятности при любом измерении: множитель e^iγ общий у всех амплитуд и исчезает при взятии модуля. Такая глобальная фаза физически ненаблюдаема, и её принято игнорировать.

Совсем другое дело — относительная фаза между амплитудами: состояния |+⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2 и |−⟩ = (|0⟩ − |1⟩)/√2 различаются знаком при |1⟩. В вычислительном базисе оба дают 0 и 1 с вероятностями 1/2 — но это ортогональные состояния, надёжно различимые измерением в базисе Адамара (раздел 2.6). Относительная фаза — это и есть та «скрытая» степень свободы, на которой работает квантовая интерференция; научиться ею управлять — значит научиться квантово программировать.

2.4. Сфера Блоха

С учётом нормировки и ненаблюдаемости глобальной фазы любое чистое состояние кубита можно записать двумя вещественными параметрами:

|ψ⟩ = cos(θ/2)·|0⟩ + e^iφ·sin(θ/2)·|1⟩, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π.

Пара (θ, φ) — сферические координаты точки на единичной сфере, которая называется сферой Блоха. Полюса — базисные состояния: северный (θ = 0) — |0⟩, южный (θ = π) — |1⟩. На экваторе лежат равновесные суперпозиции: |+⟩ на оси X (θ = π/2, φ = 0), |−⟩ — напротив (φ = π). Ортогональные состояния диаметрально противоположны на сфере (а не перпендикулярны — угол на сфере вдвое больше «квантового»).

Поверхность сферы описывает чистые состояния. Смешанные состояния, которые появятся при рассмотрении шума в главе 10, изображаются точками внутри шара Блоха; его центр соответствует максимально смешанному состоянию.

С точностью до глобальной фазы любой однокубитный вентиль действует как поворот сферы Блоха вокруг некоторой оси. Геометрическая картина не заменяет вычисления во всех случаях, но часто позволяет предсказать действие короткой схемы без перемножения матриц.

2.5. Однокубитные вентили

Вентиль — унитарная матрица 2×2. Стандартный набор:

X = ⎡ 0  1 ⎤   Y = ⎡ 0  −i ⎤   Z = ⎡ 1   0 ⎤
    ⎣ 1  0 ⎦       ⎣ i   0 ⎦       ⎣ 0  −1 ⎦

H = 1/√2 · ⎡ 1   1 ⎤   S = ⎡ 1  0 ⎤   T = ⎡ 1  0      ⎤
           ⎣ 1  −1 ⎦       ⎣ 0  i ⎦       ⎣ 0  e^(iπ/4) ⎦

• X — квантовый NOT: X|0⟩ = |1⟩, X|1⟩ = |0⟩; поворот сферы Блоха на π вокруг оси X.
• Z — переворот фазы: Z|1⟩ = −|1⟩, |0⟩ не меняет; в вычислительном базисе «невидим» (вероятности те же), но превращает |+⟩ в |−⟩. Поворот на π вокруг оси Z.
• Y = iXZ — сочетает битовый и фазовый перевороты; на сфере Блоха это поворот на π вокруг оси Y.
• H — вентиль Адамара: H|0⟩ = |+⟩, H|1⟩ = |−⟩, «переключатель» между вычислительным базисом и базисом Адамара; H² = I.
• S и T — фазовые вентили; на сфере Блоха они задают повороты вокруг оси Z на π/2 и π/4 соответственно. Выполняются равенства S = T² и Z = S². Вентиль T понадобится в главе 4: вместе с H и CNOT он образует универсальный набор.

Пример 1 (интерференция на одном кубите). Вычислим схему H → Z → H, применённую к |0⟩:

|0⟩ → |+⟩ → |−⟩ → |1⟩.

Если измерить состояние сразу после первого H, получится равномерно случайный бит. Однако полная композиция с Z между двумя H даёт единицу с вероятностью 1: амплитуды ветвей |0⟩ и |1⟩ интерферируют. Без Z было бы HH|0⟩ = |0⟩. Это простейшая модель общей идеи квантовых алгоритмов: преобразования фаз меняют интерференцию и тем самым распределение выходов.

2.6. Измерение в другом базисе

Измерять можно в любом ортонормированном базисе {|u⟩, |u_⊥⟩}: вероятность первого исхода — |⟨u|ψ⟩|². В схемной модели измерение обычно записывают в вычислительном базисе, а другой базис предварительно унитарно переводят в вычислительный. Измерение в базисе Адамара — это «применить H, затем измерить». Так состояния |+⟩ и |−⟩, неразличимые по статистике вычислительного измерения, различаются безошибочно: H|+⟩ = |0⟩, H|−⟩ = |1⟩.

Этот приём — измерение через предварительный поворот — будет использоваться в каждом алгоритме курса, а в главе 14 мы увидим его криптографическое применение: в протоколе BB84 законные стороны случайно чередуют базисы, и перехватчик, не знающий базиса, неизбежно вносит обнаружимые ошибки.

2.7. Пример-приложение: квантовый генератор случайных чисел

Идеальная схема квантового генератора случайных чисел укладывается в одну строку: приготовить |0⟩, применить H и измерить. Квантовая модель предсказывает равные вероятности исходов и не позволяет заранее определить отдельный результат. Реальное устройство сложнее: несовершенство подготовки, детектора и электроники создаёт смещение и корреляции, поэтому источник оценивают по минимальной энтропии, контролируют и дополняют экстрактором случайности. Кроме того, генераторы могут использовать не кубитную схему, а другие квантовые процессы, например измерение времени прихода фотонов.

Итоги главы

• Кубит — нормированный вектор α|0⟩ + β|1⟩; измерение даёт 0 или 1 с вероятностями |α|², |β|² и разрушает суперпозицию.
• Глобальная фаза ненаблюдаема; относительная фаза — рабочая степень свободы квантовых алгоритмов.
• Чистые состояния кубита — точки сферы Блоха, смешанные — точки внутри шара Блоха; однокубитные вентили действуют как повороты.
• Базовые вентили: X (NOT), Z (фаза), H (суперпозиция/смена базиса), S, T (фазовые повороты).
• Измерение в произвольном базисе сводится к унитарному повороту плюс стандартному измерению.

Упражнения

1. Найдите вероятности исходов измерения состояния |ψ⟩ = (1/2)|0⟩ + (√3/2)e^iπ/3|1⟩ в вычислительном базисе. Каким будет состояние после исхода «1»?
2. Покажите, что |ψ⟩ = (|0⟩ + i|1⟩)/√2 и |ψ'⟩ = (i|0⟩ − |1⟩)/√2 — одно и то же физическое состояние. Найдите его координаты (θ, φ) на сфере Блоха.
3. Вычислите состояние на выходе схемы H → T → H, применённой к |0⟩, и вероятности исходов измерения. Сравните с примером 1: как вероятность исхода «1» зависит от угла фазового вентиля между двумя H?
4. Докажите, что HXH = Z и HZH = X. Дайте геометрическую интерпретацию на сфере Блоха.
5. Алиса передаёт Бобу кубит, находящийся либо в состоянии |0⟩, либо в |+⟩ (с равной вероятностью). Может ли Боб одним измерением надёжно определить, какое из двух состояний он получил? Ответ обоснуйте через ортогональность.

Ответы и указания. 1: P(0) = 1/4, P(1) = 3/4; после исхода «1» состояние |1⟩ (фазовый множитель e^iπ/3 глобален и отбрасывается). 2: |ψ'⟩ = i·|ψ⟩; θ = π/2, φ = π/2. 3: с точностью до глобальной фазы выход равен cos(π/8)|0⟩ − i·sin(π/8)|1⟩, поэтому P(1) = sin²(π/8) ≈ 0,146; для фазового вентиля с углом γ получаем cos(γ/2)|0⟩ − i·sin(γ/2)|1⟩ и P(1) = sin²(γ/2). 4: из H² = I и прямого перемножения матриц следуют HXH = Z и HZH = X; на сфере Блоха H меняет местами оси X и Z. 5: нет; состояния неортогональны (⟨0|+⟩ = 1/√2), а безошибочно различить одним измерением можно только ортогональные чистые состояния. Неортогональность сигнальных состояний используется в квантовом распределении ключей.

Лабораторная работа 1. Однокубитные схемы в Qiskit

Подготовка. Создайте отдельное виртуальное окружение с поддерживаемой версией CPython и установите пакеты командой python -m pip install qiskit qiskit-aer matplotlib. Квантовое оборудование не требуется: схемы этой работы выполняются на локальном симуляторе.

Задание 1. Квантовая монета. Соберите и выполните схему из раздела 2.7:

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_aer import AerSimulator

qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)
qc.measure_all()

sim = AerSimulator()
counts = sim.run(qc, shots=1000).result().get_counts()
print(counts)

Убедитесь, что частоты исходов близки к 500/500. Увеличьте shots до 100000 и сравните не абсолютное отклонение числа единиц от половины запусков, а относительную частоту: её типичное отклонение убывает как 1/√shots.

Задание 2. Интерферометр. Реализуйте схему H → Z → H из примера 1 (метод qc.z(0) между двумя qc.h(0)) и на идеальном симуляторе получите исход «1» во всех запусках. Затем замените Z на T (qc.t(0)) и сравните частоты с теоретическим ответом упражнения 3.

Задание 3. Фазовая развёртка. Постройте график зависимости P(1) от угла γ фазового вентиля (метод qc.p(gamma, 0)) для γ от 0 до 2π с шагом π/8, по 1000 запусков на точку. Сравните с теоретической кривой sin²(γ/2).

Задание 4*. Различение неортогональных состояний. Смоделируйте ситуацию упражнения 5: случайно готовьте |0⟩ или |+⟩ и угадывайте состояние после измерения (а) в вычислительном базисе, (б) в базисе Адамара. Для каждого базиса явно задайте правило принятия решения и оцените долю правильных ответов. Теоретический максимум при равных априорных вероятностях — cos²(π/8) ≈ 0,854 (граница Хелстрома). Он достигается измерением вдоль оси, пропорциональной разности векторов Блоха этих состояний: примените qc.ry(pi/4, 0), затем измерьте и при исходе 0 выбирайте |0⟩, а при исходе 1 — |+⟩.

Литература к главе

1. M. Nielsen, I. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information," гл. 1, 4.2. Cambridge University Press, 2010.
2. IBM Quantum Documentation: Construct circuits; Measure qubits.

Предыдущая глава || Содержание курса || Следующая глава