Курс «Квантовые вычисления». Глава 3. Многокубитные системы и запутанность

Курс «Квантовые вычисления»

Цели главы. Научиться работать с системами из нескольких кубитов, понять операционный смысл запутанности, доказать теорему о запрете клонирования и разобрать два протокола с заранее распределённой запутанностью — телепортацию и сверхплотное кодирование. Завершает главу лабораторная работа.

3.1. Составные системы

Согласно главе 1, чистое состояние системы из n кубитов представляется нормированным вектором в пространстве размерности 2ⁿ с базисом из всех битовых строк. Для двух кубитов

|ψ⟩ = α₀₀|00⟩ + α₀₁|01⟩ + α₁₀|10⟩ + α₁₁|11⟩, ∑|α_xy|² = 1.

Измерение обоих кубитов даёт строку xy с вероятностью |α_xy|². Можно измерить только первый кубит: вероятность исхода 0 равна |α₀₀|² + |α₀₁|², а совместное состояние после исхода — проекция на подпространство с первым кубитом |0⟩, перенормированная к единичной длине. Если вероятность исхода ненулевая, оставшиеся амплитуды делятся на её квадратный корень.

Экспоненциальная размерность помогает увидеть трудность классического моделирования: для общего чистого состояния 300 кубитов требуется 2³⁰⁰ комплексных амплитуд. Однако измерение в вычислительном базисе вернёт только 300-битовую строку. Большое пространство состояний само по себе не обеспечивает ускорения: алгоритм должен подготовить нужную структуру амплитуд и посредством интерференции сделать полезный результат вероятным.

3.2. Вентиль CNOT

Однокубитные вентили не могут создать запутанность из исходно разложимого состояния: локальные операции сохраняют тензорное произведение. Для создания запутанности нужен вентиль, совместно действующий по меньшей мере на два кубита. Основной пример — CNOT (controlled-NOT, управляемое НЕ):

CNOT = ⎡ 1 0 0 0 ⎤
       ⎢ 0 1 0 0 ⎥
       ⎢ 0 0 0 1 ⎥
       ⎣ 0 0 1 0 ⎦

На базисных состояниях: CNOT|x, y⟩ = |x, y⊕x⟩ — второй (целевой) кубит инвертируется, если первый (управляющий) равен единице. Это обратимая версия классического XOR: обратный к CNOT — он сам.

Если управляющий кубит находится в суперпозиции, линейность определяет действие CNOT на каждую базисную компоненту. Для некоторых входов результат уже нельзя разложить в тензорное произведение.

3.3. Запутанность и состояния Белла

Состояние составной системы называется сепарабельным (разложимым), если оно представимо в виде тензорного произведения состояний подсистем, и запутанным — если нет.

Построим запутанное состояние явно. Возьмём |00⟩, применим H к первому кубиту, затем CNOT:

|00⟩ → (|00⟩ + |10⟩)/√2 → (|00⟩ + |11⟩)/√2 ≡ |Φ⁺⟩.

В упражнении 5 главы 1 доказано, что |Φ⁺⟩ неразложим. Эта двухвентильная схема H + CNOT служит стандартным генератором пары Белла. Максимально запутанных состояний двух кубитов бесконечно много, но особенно удобны четыре состояния, образующие ортонормированный базис Белла:

|Φ^±⟩ = (|00⟩ ± |11⟩)/√2, |Ψ^±⟩ = (|01⟩ ± |10⟩)/√2.

Что означает запутанность операционально? Измерим оба кубита |Φ⁺⟩: с вероятностью 1/2 получим 00, с вероятностью 1/2 — 11, но никогда 01 или 10. Результат для каждого кубита по отдельности равномерно случаен, тогда как совместные результаты идеально скоррелированы — независимо от расстояния между кубитами. Передавать информацию так нельзя: Алиса не управляет своим случайным исходом, а локальная статистика Боба не зависит от выбора измерения Алисы. Корреляцию обнаруживают только после сравнения результатов по обычному каналу связи.

Можно предположить, что результаты заранее заданы локальными скрытыми параметрами. Однако корреляции измерений в разных базисах могут нарушать неравенство Белла: в варианте CHSH модуль классической корреляционной суммы для любой локальной модели не превосходит 2, тогда как квантовая механика допускает 2√2. Это многократно подтверждено экспериментально; работы по экспериментам с запутанными фотонами, нарушениям неравенств Белла и квантовой информатике были отмечены Нобелевской премией по физике 2022 года. Запутанность — неклассический ресурс, необходимый для многих квантовых протоколов, но сама по себе она не гарантирует вычислительного ускорения: например, важный класс запутывающих клиффордовских схем эффективно моделируется классически (глава 4).

3.4. Теорема о запрете клонирования

Теорема. Не существует унитарного оператора U, копирующего произвольное неизвестное состояние: U(|ψ⟩⊗|0⟩) = |ψ⟩⊗|ψ⟩ для всех |ψ⟩.

Доказательство. Предположим, такой U существует. Тогда для двух произвольных состояний:

U(|ψ⟩⊗|0⟩) = |ψ⟩⊗|ψ⟩ и U(|φ⟩⊗|0⟩) = |φ⟩⊗|φ⟩.

Возьмём скалярное произведение левых частей друг с другом и правых частей друг с другом. Унитарный оператор сохраняет скалярные произведения (глава 1), поэтому:

⟨φ|ψ⟩·⟨0|0⟩ = ⟨φ|ψ⟩², то есть ⟨φ|ψ⟩ = ⟨φ|ψ⟩².

Обозначим x = ⟨φ|ψ⟩. Из x = x² следует x = 0 или x = 1: один унитарный оператор может копировать состояния заранее выбранного ортонормированного базиса, а также тривиально повторно приготовить известное состояние, но не может клонировать произвольные неизвестные неортогональные состояния. ∎

В квантовой коррекции ошибок (глава 11) поэтому нельзя защитить неизвестный кубит простым созданием независимых копий — нужны коды, распределяющие состояние по составной системе без клонирования. Запрет клонирования также препятствует идеальному перехвату неизвестных неортогональных сигналов; вместе с правилом измерения он лежит в основе квантового распределения ключей (глава 14), хотя полное доказательство стойкости требует дополнительных условий.

3.5. Квантовая телепортация

Задача: у Алисы есть единственный кубит в неизвестном ей состоянии |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, и она хочет передать это состояние Бобу, не отправляя ему данный физический носитель. Измерить кубит и сообщить результат недостаточно: по одному экземпляру нельзя восстановить неизвестные амплитуды, а измерение обычно изменит состояние. Клонировать его тоже нельзя. Решение существует, если Алиса и Боб заранее распределили пару Белла.

Протокол. Алиса владеет кубитом 1 (состояние |ψ⟩) и кубитом 2, Боб — кубитом 3; кубиты 2 и 3 находятся в состоянии |Φ⁺⟩.

1. Алиса применяет CNOT (кубит 1 управляет кубитом 2), затем H к кубиту 1.
2. Алиса измеряет оба своих кубита, получая два классических бита (m₁, m₂), и сообщает их Бобу по обычному каналу.
3. Боб применяет к своему кубиту коррекцию: X, если m₂ = 1, затем Z, если m₁ = 1. Его кубит оказывается в состоянии |ψ⟩.

Проверка — прямое вычисление (упражнение 4): состояние трёх кубитов перед измерением Алисы раскладывается в сумму

(1/2)·[ |00⟩(α|0⟩+β|1⟩) + |01⟩(α|1⟩+β|0⟩) + |10⟩(α|0⟩−β|1⟩) + |11⟩(α|1⟩−β|0⟩) ],

и каждому исходу измерения соответствует состояние Боба, отличающееся от |ψ⟩ известной паулиевской «опечаткой», которую и исправляет шаг 3.

Обратите внимание на три обстоятельства. Во-первых, кубит-носитель Алисы не перемещается к Бобу, но физический квантовый ресурс был передан раньше при распределении пары Белла. Во-вторых, протокол не нарушает запрет клонирования: исходное состояние Алисы уничтожается измерением и после коррекции воспроизводится у Боба. В-третьих, до получения двух классических битов состояние кубита Боба, усреднённое по исходам Алисы, не содержит доступной информации о |ψ⟩; передачи информации быстрее света нет. Телепортация используется как примитив передачи состояний и реализации вентилей, а в квантовых сетях связана с построением повторителей и передачей запутанности.

3.6. Сверхплотное кодирование

Зеркальный протокол: телепортация расходует одну пару Белла и два классических бита, чтобы передать один кубит; сверхплотное кодирование расходует одну пару Белла и один пересланный кубит, чтобы передать два классических бита. Алиса и Боб делят |Φ⁺⟩; Алиса, желая передать биты (a, b), применяет к своему кубиту Z^aX^b — и пара переходит в одно из четырёх состояний Белла. Она отсылает кубит Бобу; тот применяет CNOT и H (схему генерации Белла в обратную сторону) и измеряет оба кубита, безошибочно различая четыре ортогональных состояния — то есть читая оба бита. Вместе оба протокола показывают точный «обменный курс» между квантовыми и классическими ресурсами и демонстрируют запутанность как валюту связи.

Итоги главы

• Состояние n кубитов — вектор размерности 2ⁿ; частичное измерение проецирует состояние с перенормировкой.
• CNOT может превратить сепарабельную суперпозицию в запутанное состояние; четыре стандартных состояния Белла образуют ортонормированный базис.
• Запутанность даёт корреляции, невозможные классически (нарушение неравенства CHSH), но не позволяет передавать информацию быстрее света.
• Произвольное неизвестное квантовое состояние нельзя скопировать унитарной операцией — это запрещает сохранение скалярного произведения.
• Телепортация: пара Белла + 2 классических бита = передача кубита. Сверхплотное кодирование: пара Белла + 1 кубит = 2 классических бита.

Упражнения

1. Кубиты находятся в состоянии |ψ⟩ = (|00⟩ + |01⟩ + |10⟩)/√3. Найдите вероятности исходов измерения первого кубита и состояния второго кубита после каждого исхода. Запутано ли |ψ⟩?
2. Покажите, что состояние (|00⟩ + |01⟩ + |10⟩ + |11⟩)/2 сепарабельно, разложив его в тензорное произведение.
3. Какие состояния Белла получаются из |01⟩, |10⟩, |11⟩ схемой «H на первом кубите, затем CNOT»? Убедитесь, что вместе с |Φ⁺⟩ они образуют ортонормированный базис.
4. Проделайте выкладку телепортации: примените CNOT и H к состоянию (α|0⟩ + β|1⟩)⊗|Φ⁺⟩ и получите разложение из раздела 3.5.
5. Объясните, почему протокол сверхплотного кодирования не работает без предварительно разделённой запутанности: сколько классических битов можно передать одним кубитом «с нуля»? (Ответ: один — теорема Холево; примите её здесь без доказательства и обоснуйте правдоподобие через правило измерения.)
6. Докажите, что применение любых локальных операторов A⊗B к сепарабельному состоянию оставляет его сепарабельным. Что отсюда следует о возможности создать запутанность «на расстоянии», без взаимодействия кубитов?

Ответы и указания. 1: P(первый = 0) = 2/3, второй кубит переходит в (|0⟩+|1⟩)/√2 = |+⟩; P(первый = 1) = 1/3, второй — в |0⟩. Состояние запутано: для произведения коэффициенты удовлетворяли бы α₀₀α₁₁ = α₀₁α₁₀, но здесь 0 ≠ 1/3. 2: |+⟩⊗|+⟩. 3: |Ψ⁺⟩, |Φ⁻⟩, |Ψ⁻⟩ соответственно. 4: сначала раскройте пару Белла и сгруппируйте четыре слагаемых по значениям первых двух кубитов; после CNOT и H коэффициенты каждой группы совпадут с указанными четырьмя состояниями Боба. 5: без предварительной запутанности один переданный кубит несёт не более одного бита доступной классической информации; для безошибочного кодирования это видно из того, что двумерное пространство содержит не более двух взаимно ортогональных сигнальных состояний. 6: (A⊗B)(|φ⟩⊗|χ⟩) = A|φ⟩⊗B|χ⟩ — произведение остаётся произведением. В общем случае локальные операции и классическая связь (LOCC) не создают запутанность между сторонами; требуется заранее распределённая запутанность, пересылка квантовой системы или физическое взаимодействие.

Лабораторная работа 2. Запутанность и телепортация в Qiskit

Задание 1. Пара Белла. Соберите генератор |Φ⁺⟩:

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_aer import AerSimulator

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure_all()

sim = AerSimulator()
print(sim.run(qc, shots=1000).result().get_counts())

Убедитесь, что исходы — только 00 и 11, примерно поровну. Затем добавьте перед измерением X на втором кубите и определите по статистике, какое состояние Белла получилось.

Задание 2. Корреляции против «монет». Сравните пару Белла с парой независимых «квантовых монет» (H на каждом кубите без CNOT): постройте статистику исходов той и другой схемы. По одиночным кубитам схемы неотличимы; чем они отличаются по совместной статистике?

Задание 3. Телепортация. Создайте схему qc = QuantumCircuit(3, 3). Приготовьте кубит 0 в состоянии R_y(1.2)|0⟩, создайте пару Белла на кубитах 1–2 и выполните операции Алисы. Сохраните результат измерения кубита 0 в qc.clbits[0], а кубита 1 — в qc.clbits[1]. Затем добавьте динамические коррекции:

with qc.if_test((qc.clbits[1], 1)):
    qc.x(2)
with qc.if_test((qc.clbits[0], 1)):
    qc.z(2)

Для проверки примените к кубиту 2 обратный поворот R_y(−1.2) и измерьте его в qc.clbits[2]. На идеальном симуляторе старший, соответствующий этому биту символ каждой строки результата должен быть 0; два младших бита остаются случайными исходами Алисы.

Задание 4*. CHSH. Реализуйте эксперимент CHSH для пары |Φ⁺⟩. Возьмите повороты перед измерением A₀ = 0, A₁ = π/2 у Алисы и B₀ = π/4, B₁ = −π/4 у Боба. Для каждой пары настроек вычислите E = (N₀₀ + N₁₁ − N₀₁ − N₁₀)/N, затем S = E(A₀,B₀) + E(A₀,B₁) + E(A₁,B₀) − E(A₁,B₁). На идеальном симуляторе |S| приближается к 2√2 ≈ 2,83; исходные углы относятся к параметрам R_y, а не к полу углам в формулах состояния.

Литература к главе

1. M. Nielsen, I. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information," гл. 1.3, 2.3. Cambridge University Press, 2010.
2. C. Bennett et al., "Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels," Phys. Rev. Lett. 70, 1993.
3. J. Clauser, M. Horne, A. Shimony, R. Holt, "Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories," Phys. Rev. Lett. 23, 1969.
4. IBM Quantum Documentation: Classical feedforward and control flow.

Предыдущая глава || Содержание курса || Следующая глава